8. సాంఖ్యక శాస్త్రం

VIII సాంఖ్యక శాస్త్రం

డి.యస్.సి. సైకాలజీ విభాగంలో ఈ పాఠ్యాంశానికి సంబంధించి 4 నుండి 5 ప్రశ్నలు వస్తున్నాయి. ఈ పాఠ్యాంశంను 7 అంశాలుగా విభజించి

1. పరిచయం

వివరించడం జరిగింది.

2. విద్యా పరిశోధనలు - రకాలు

3. సాంఖ్యక శాస్త్రం

4. కేంద్రీయ ప్రవృత్తి మానాలు

5. చరశీలతా మానాలు

6. సహసంబంధం

7. రేఖాపటాలు

1. పరిచయం

• పరిశీలనలలో తార్కిక పద్దతులను ఉపయోగించడాన్ని శాస్త్రీయ పద్దతి అంటారు.
• గ్రీకుదేశస్తుడు అరిస్టాటిల్ తన తార్కిక పద్దతి ద్వారా శాస్త్రీయపద్ధతి వ్యవస్థాపనకు నాంది పలికారు.
• శాస్త్రీయ పద్దతుల్లో రెండు పద్దతులు వున్నాయి. అవి 1.
• నిగమన 2. ఆగమన
• నిమగన పద్దతిలో సాధారణీకరణం నుండి ప్రత్యేకీకరణంనకు వెళ్తారు. ఉదా : త్రిభుజం లో మూడు కోణాల మొత్తం 180° అనే ఒక సాధారణీకరణను తీసుకుని, దానిని నిరూపించుటకు అనేక రకాలైన త్రిభుజాలను తీసుకోవడం. (మార్పుకు వీలుంటుంది)
• అనేక ఉదాహరణలు గమనించి వాటి ఆధారంగా సాధారణీకరణం నిర్మించే విధానాన్ని ఆగమనాత్మక పద్దతి అందురు. ఉదా : అనేకరములైన త్రిభుజాలు పరిశీలించి చివరకు ఏ త్రిభుజంలో మూడు కోణాల మొత్తం 180° అని సాధారణీకరించడం (మార్పుకు వీలుండదు)
• ఆగమన, నిగమన, పద్దతులను సమన్వయంచేసినది - చార్లెస్ డార్విన్
• ఆగమనాత్మక పద్ధతిని ప్రతిపాదించినది - సర్ ఫ్రాన్సిస్ బేకన్
• ప్రయోగాత్మక విజ్ఞానానికి దోహదం చేసిన పద్దతి - అగమనాత్మక పద్దతి
• డార్విన్ ప్రకారం ముందు అగమన పద్ధతి, తరువాత నిగమన పద్ధతులను ఉపయోగించాలి.
• శాస్త్రీయ పద్దతి యొక్క సోపానాలు - 1. సమస్యను గుర్తించడం 2. సమస్యను నిర్వచించడం. 3. పరికల్పనను రూపొందించడం 4. దత్తాంశాలను సేకరించడం 5. సాంఖ్యకంగా వాటిని విశ్లేషించడం. 6. నిర్ధారణకు రావడం 7. పరికల్పనలను ఆమోదించడం లేదా తిరస్కరించడం.
• శాస్త్రీయ పద్దతినే పరిశోధన అని కూడా అంటారు.
• మనోవిజ్ఞాన శాస్త్రంలో విషయ సేకరణకు ఉపయోగించు పద్దతి - శాస్త్రీయ పద్దతి లేదా పరిశోధన

2. విద్యా పరిశోధన - రకాలు

• జాన్ డబ్ల్యూ బెస్ట్ విద్యా విషయక పరిశోధనలను మూడు రకాలుగా వివరించాడు.

 1. చారిత్రక పరిశోధన

 2. వర్ణనాత్మక పరిశోధన

 3. ప్రయోగాత్మక పరిశోధన

• చారిత్రక పరిశోధన - ఇది గతించిన వాస్తవాలను అన్వేషించడంలో ఉపయోగపడుతుంది.
• చారిత్రక పరిశోధనలో దత్తాంశాలను సేకరణకు రెండు విధానాలు గుర్తించవచ్చు.

 1. ప్రాథమిక మూలాలు

 2. గౌణ మూలాలు

• ప్రాథమిక మూలాలు అంటే ఆయా చారిత్రక వాస్తవాలకు నేరుగా సంబంధమున్న వస్తువులు, వ్యక్తి లేదా వ్యక్తులు వారి, స్వీయానుభవాలు, అప్పటి అవశేషాలు, చిత్ర పటాలు, రచనలు, కళాఖండాలు, భవనాలు మొదలగునవి.
• ఒక ప్రత్యక్ష సాక్షి లేదా వ్యాఖ్యాత యొక్క కధనాన్ని మరొకరు నమోదు చేస్తే లభించే దత్తాంశాలను గౌణమూలాలుఅందురు.
• ఇప్పటి స్థితి ఏమిటో వర్ణించి, వాఖ్యానించే పరిశోధననే వర్ణనాత్మక పరిశోధన అందురు.
• వర్ణనాత్మక పరిశోధనలో రకాలు 1. కేస్ స్టడీ 2. సర్వే పద్దతి ఇది వర్తమాన కాలానికి చెందినది.
• జాగ్రత్తగా నియంత్రించిన పరిస్థితుల్లో ఏమి జరుగుతుందో అనే పరిశీలించే ఫలితాలను విశ్లేషణ పూర్వకంగా వర్ణించడాన్ని ప్రయోగాత్మక పద్దతి అంటారు. అత్యంత విశ్వసనీయమైనది. సప్రమాణత కలది, ప్రయోగాత్మక పద్దతి.
• ప్రయోగాత్మక పరిశోధన జాన్ స్టూవర్ట్ మిల్ ప్రతిపాదించిన ఏకచర నియమం మీద ఆధారపడి వుంటుంది.
• ఏ రెండు స్థితులైన అన్ని విధాలా ఒకటిగా ఉండే, అందులో ఒకదానికి మూలకం కలపడం వలన గాని, తీసివేయడం వలన గాని, కలపడం వలన గాని జరిగిందని చెప్పడాన్ని ఏకచర నియమం అందురు.

చర్యాత్మక పరిశోధన:

• నిత్య జీవితంలో సమస్యల గురించిన అన్వేషణయే చర్యాత్మక పరిశోధన.
• ఉపాధ్యాయులు, పర్యవేక్షకులు, పరిపాలకులు మొదలైన వారు తాము చేస్తున్న పనిని తామే పరీక్షించుకోవడానికి ఉపయోగించు పద్దతి - చర్యాత్మక పరిశోధన (కార్యాత్మక పరిశోధన).
• Action Reasearch అను పుస్తకాన్ని రచించినది - స్టీఫెన్ కొరె.
• Action Research కు నిర్వచనాన్ని ఇచ్చినది - స్టీఫెన్ కొరె.
• చర్యాత్మక పరిశోధనలో ముఖ్యాంశాలను పేర్కొన్నది - స్పిప్పిన్ కెమ్మిస్.
• చర్యాత్మక పరిశోధన సర్పింలను రూపొందించింది - స్పిప్పిన్ కెమ్మిస్.

మౌలిక పరిశోధన, చర్యాత్మక పరిశోధనల మధ్య భేదాలు :

3. సాంఖ్యక శాస్త్రం

• శాస్త్రీయ పద్ధతులను ఉపయోగించి ఏదైనా విషయానికి సంబంధించిన దత్తాంశాలను సేకరించి, వర్గీకరించి, సంక్షిప్త వివరణతో విశ్లేషణ చేసి రాబట్టిన ఫలితాలను ఉపయోగించి ఖచ్చితమైన నిర్ణయాలను సాధించడమే సాంఖ్యకశాస్త్రం పని.
• “స్టాటస్టిక్స్" అన్న పదం “స్టాటస్" అనే లాటిన్ పదం నుంచి, "స్టాటిస్ట" అనే ఇటాలియన్ పదం నుంచి, "స్టాటిస్టిక్" అనే గ్రీకు పదం నుంచి ఉత్పన్నమైనది. ఈ పదాలకు "రాజ్యం" అని అర్ధం.
• సాంఖ్యకశాస్త్ర పితామహుడు - సర్ రొనాల్డ్ ఎ. ఫిషర్.
• సేకరించిన సమాచారాన్ని పట్టిక రూపంలోగాని, చిద్రరూపంలోగాని ప్రదర్శించడాన్ని దత్తాంశ ప్రదర్శన అందురు.
• సేకరించిన దత్తాంశాలను రెండు రకాలుగా వర్గీకరించవచ్చు. అవి

     1. దత్తాంశంలోని గణాంకాలు పౌనఃపున్య విభజన పట్టిక రూపంలో కాక విడివిడిగా ఉంటే అట్టి దత్తాంశాన్ని అవర్గీకృత దత్తాంశం అందురు.

       2. దత్తాంశంలోని గణాంకాలను పౌనఃపున్య విభజన పట్టిక రూపంలో అమరిస్తే అట్టి దత్తాంశాన్ని వర్గీకృత దత్తాంశం అంటారు.

• దత్తాంశంలోని సంఖ్య దత్తసంఖ్యల స్వభావాన్ని బట్టి సంఖ్యలను రెండు రకాలైన శ్రేణులుగా విభజించారు. అవి :

     1. పూర్ణసంఖ్యలలో మాత్రం చెప్పగల సంఖ్యలను విరళ శ్రేణులు అంటారు. (ఒక దత్తాంశంలోని చరరాశులు కొన్ని నిశ్చిత సంఖ్యలను మాత్రమే తీసుకోగలిగితే అలాంటి చలరాశులతో ఏర్పడే శ్రేణులను విరళశ్రేణులు అంటారు. ఉదా : 72, 61,53, .........

    2. ఒక సాంత్యతరేఖ మీద సంఖ్యాక్రమాన్ని ఏ అంతస్తుకైనా విభాగించగలిగినపుడు అందలి స్టకి పరంపరను అవిరళ శ్రేణులు అంటారు. ఉదా: 130.5, 130.7, .....

• గణాంకాల్ని క్రమపరచడానికి ఉపయోగించు పద్దతులలో కోటీకరిండం ఒకటి.
• దత్తాంశ నిర్వహణలో రెండు ప్రాధమిక విధానాలు ఉన్నాయి. అవి

         1. వరుస క్రమంలో పేర్చడం : పెద్ద విలువలను మొదటఇ తరువాత చిన్నవిలువలను వరుసగా పేర్చడం

        2. గణన చిహ్న పద్దతి : గణనలో ప్రతిగణాంకాన్ని ఎంతమంది సాధించారో లెక్కించి వాటిని సంఖ్యారూపంలో రాస్తే దాన్ని ఆ గణాంక పౌనఃపున్యం అంటారు.

• పౌనఃపున్య పట్టిక తయారుచేయడంలో మొదటి సోపానం - వ్యాప్తిని కనుక్కోవడం
• వ్యాప్తిని ఆధారంగా తరగతి అంతరాల సంఖ్యను నిర్ణయిస్తారు.
• ఆరోహణ క్రమంలో తరగతి అంతరాలు ఉంటే రేఖా చిత్రాలు గీయడం సులభమవుతుంది.
• సాంఖ్యకీయ శాస్త్రంలో అతి ముఖ్యమైన పద్ధతులు మూడు. అవి : 1. కేంద్రీయ ప్రవత్తి మానాలు 2. చరశీలతా మానాలు (విచలనాలు) 3. సహసంబంధ గుణకం

4. కేంద్రీయ ప్రవృత్తి మానాలు

• స్కేలు మధ్య భాగంలో ఏదో ఒక విలువ వద్ద ఎక్కువ గణాంకాలు కేంద్రీకృతమవడాన్ని కేంద్రీయ ప్రవృత్తి అంటారు. దాన్ని గుర్తించే ప్రక్రియను కేంద్రీయ ప్రవృత్తిమానం అంటారు.
• ముఖ్యమైన కేంద్రీయ ప్రవృత్తి మానాలు మూడు - అవి: 1. అంకమధ్యమం 2. మాధ్యమికం 3. బాహుళకం
• కేంద్రీయ ప్రవృత్తి మానాలు గణాంకాల సమూహానికి ప్రాతినిధ్యం వహిస్తాయి.

అంకమధ్యమం :

• సేకరించిన గణాంకాలన్నిటిని కూడి, వాటి సంఖ్యతో భాగించగా వచ్చే ఫలితాన్ని అంకమధ్యమం అంటారు.

అంకమధ్యమం- సుగుణాలు :

• అన్ని కేంద్రీయ మాపనాలలో అంకమధ్యమం ఖచ్చితమైన విలువ.
• దీని గణించడం సులభం.
• ఇది బీజగణిత పద్ధతులకు అనువైనది.
• దీనిని గణించడానికి దత్తాంశంలోని ప్రతి గణాంకాన్ని తీసుకోవాల్సి ఉంటుంది.
• ఇది పోల్చడానికి అనువైనది.

అంకమధ్యమం- దోషాలు:

• దత్తాంశంలోని అతి గరిష్ట, అతి కనిష్ట విలువలుంటే అంకమధ్యమం తన ఖచ్చితత్వాన్ని కోల్పోతుంది.
• సజాతీయత లేని సంకీర్ణ సమూహాల అంకమధ్యమం ఖచ్ఛితమైన పూర్తి అర్ధమివ్వదు.
• దత్తాంశంలోని అన్ని విలువలు తెలిస్తేగాని అంకమధ్యమాన్ని గణించలేము.

మాధ్యమిక లేదా మధ్యగతం :

• మాధ్యమిక అంటే మధ్యవిలువ అని అర్ధం.
• దత్తాంశంలోని గణాంకాలన్ని వాటి ప్రమాణాల క్రమంలో అమరిస్తే అప్పుడు మధ్యస్థానంలో ఉండే గణాంకం మాధ్యమికం అవుతుంది
• దత్తాంశంలోని 50% గణాంకాలు మాధ్యమిక భాగాన, మరో 50% గణాంకాలు మాధ్యమిక కిందభాగాన ఉంటాయి.
• మాధ్యమికను "Mdn" తో సూచిస్తారు.

మధ్యగతం గుణాలు:

• దత్తాంశంలోని అతి కనిష్ట, అతి గరిష్ట గణాల ప్రభావం మాధ్యమికం మీద ఉండదు.
• గ్రాఫిక్ పద్దతిలో కూడా మాధ్యమికను పొందవచ్చు.
• విలువల పరిమాణంపైనే కాక విలువల సంఖ్యపై ఆధారపడిఉంటుంది.

మధ్యగతం దోషాలు - లోపాలు:

• బీజగణిత పద్ధతులకు అనువైనది.
• దత్తాంశం లోని గణాంకాల సంఖ్య తక్కువగా ఉన్నపుడు ఇది అర్ధవంతంగా ఉండదు.
• సరిసంఖ్య విలువలు కలిగిన దత్తాంశానికి మాధ్యమిక ఖచ్ఛితమైన విలువ కాదు.
• 
  

బాహుళకం:

• దత్తాంశంలోని గరిష్ఠ పౌనఃపున్య విలువను బాహుళకం అంటారు.
• దత్తాంశంలోని గుణాంకాలను ఆరోహణ క్రమంలో పేర్చి ఏ గణాంకం హెచ్చుసార్లు వచ్చిందో దానినే బాహుళకం అందరు.
• అవర్గీకృత దత్తాంశం నుంచి పొందే బాహుళకాన్ని అపరిష్కృత బాహుళకం అందురు.
• దత్తాంశంలోని ఒకటి కంటే ఎక్కువ గణాంకాల పౌనఃపున్యం అధికంగా లేదా సమానంగా వుంటే అటువంటి విలువను బహుబాహుళకం అంటారు.
• దత్తాంశంలోని రెండు గణాంకాల పౌనఃపుణ్యాలు సమానంగా వుంటే అట్టి విలువను ద్విబాహుళకం అని, మూడు గణాంకాల పౌనఃపున్యాలు సమానంగా ఉంటే అట్టి విలువను త్రిబాహుళకం అంటారు.
• వర్గీకృత దత్తాంశాల నుంచి బాహుళకాన్ని సాధించడానికి సూత్రం: బాహుళకం (3మధ్యగతం) - (2 అంకమధ్యమం).

బాహుళకం సుగుణాలు :

• అంత్య విలువపై ఆధారపడి ఉండదు.

బాహుళకం - దోషాలు:

• దీనిని బీజగణితంలో ఉపయోగించలేము.
• దత్తాంశంలో ఎక్కువ గణనలు వుండాలి. లేకపోతే బాహుళకం సరైన కేంద్రీయ మాపనం కాదు.

5. చరశీలతామాపనాలు

• రెండు లేక మూడు దత్తాంశం సమూహాల కేంద్రీయ ప్రవృత్తి మాపనాలు సమానంగా ఉండి దత్తాంశ స్వరూపాలు సమానంగా లేకపోవడానికి కారణం - కేంద్రీయ ప్రవృత్తి మానాల చుట్టూ దత్తాంశంలోని గణనలు దగ్గరగా లేదా దూరంగా విస్తరించబడి వుండటమే.
• గణనలు వాటి కేంద్రీయ ప్రవృత్తి చుట్టూ ఏవిధంగా పంపిణీ చేయబడి ఉన్నాయో లేదా విస్తరించి ఉన్నాయో తెలిపే మాపనాన్ని చరశీలతా మాపనం అందురు.
• చరశీలతా మాపనాలు నాలుగు : అవి - 1. వ్యాప్తి 2. సగటు విచలనం 3. చతుర్థాంశక విచలనం 4. ప్రామాణిక విచలనం

వ్యాప్తి : దత్తాంశంలోని గరిష్ఠ, కనిష్ఠ గణాంకాల అంతరాన్ని వ్యాప్తి అంటారు.

వ్యాప్తి - ఉపయోగాలు :

• దత్తాంశంలోని అధికగణన, అల్పగణన లేదా సంపూర్ణ విస్తరణ గురించి తెలుసుకోవలసి వచ్చినపుడు ఉపయోగపడుతుంది.
• దత్తాంశానికి పౌనఃపున్య విభజన పట్టిక తయారు చేసుకోవలసి వచ్చినపుడు ఉపయోగపడుతుంది.
• అతిక్లుప్త చారుశీలతామానం కావలసివచ్చినపుడు ఉపయోగపడుతుంది.

వ్యాప్తి దోషాలు :

దత్తాంశంలోని గణాంకాలు తక్కువైనపుడు, విభిన్న మాపన పరిమాణాలున్నపుడు వ్యాప్తి అంత విశ్వసనీయమైనది కాదు. వ్యాప్తి మధ్యలో ఉండే గణాంకాలను పొందదు.

సగటు విచలనం : అంకమధ్యమం నుంచి దత్తాంశంలోని వివిధ గణాంకాలకు గల విచలనాల సగటును సగటు విచలనం (అంకమధ్యమ విచలనం) అంటారు.

• సగటు విచలనాన్ని, సాధారణంగా విచలనం అధికంగా ఉండి ప్రామాణిక విచలనం ప్రభావితం అవుతున్నపుడు ఉపయోగించాలి.

చతుర్థాంశక విచలనం :

• పౌనఃపున్య విభాగంలో ఏ బిందువు కింద 25% గణనలుంటాయో ఆ బిందువును మొదటి చతుర్థాంశకం అంటారు. పౌనఃపున్య విభాజనంలోని ఏ బిందువు కింద 75% గణనలుంటాయో ఆ బిందువును తృతీయ చతుర్థాంశకం
• తృతీయ, ప్రథమ చతుర్థాంశకాల మధ్యగల అంతరంలోని అర్ధభాగానికి సంబంధించిన విచలనాన్ని చతుర్థాంశక విచలనం అందురు.
• చతుర్థాంశక విచలనాన్ని Q తో సూచిస్తారు.

• మాధ్యమిక లేదా మధ్యగతం కేంద్రీయ ప్రవృత్తిమానం అయినపుడు చతుర్థాంశక విచలనాన్ని గణించాలి.
• దత్తాంశంలోని అత్యధిక, అత్యల్ప గణనలు ఉండి అవి ప్రమాణిక విచలనాన్ని ప్రభావితం చేస్తున్నపుడు Q ని గణించాలి.

ప్రామాణిక విచలనం :

• ఇది అత్యంత స్థిరమైన చరశీలతామానం
• దత్తాంశంలోని గణాంకాల నుంచి అంకమాధ్యమాన్ని తీసివేసి వచ్చిన విచలనాలకు వర్గాలను కనుగొని, ఆ వర్గాల మొత్తాన్ని పౌనఃపున్యాల మొత్తంతో భాగించాలి. వచ్చిన భాగఫలితం వర్గమూలమే ప్రామాణిక విచలనం.
• గణాంకాల అంకమధ్యమ విచలనాల వర్గాల మొత్తానికి వర్గమూలాన్నే ప్రామాణిక విచలనం అంటారు. అందుకే దీనిని ఆంగ్లంలో "Root mean sqare deviation" అంటారు.
• ప్రామాణిక విచలనాన్ని సూచించడానికి SD అనే అక్షరాలు లేదా గ్రీకు అక్షరమైన ౮ (సిగ్మా) ను ఉపయోగిస్తారు.

• సహసంబంధ గుణకం కావలసి వచ్చినపుడు ఉపయోగపడు చరశీలతామానం - S.D.

6. సహసంబంధం

• రెండు చరాల మధ్య సంబంధాన్ని సహ సంబంధం అంటారు.
• ఒక చరరాశి ప్రవర్తన తెలిసినట్లయితే రెండవ చరరాశి ప్రవర్తనను అంచనావేయడాన్ని ప్రాగుప్తీకరణించడం అంటారు.
• ఒక చరరాశి లోని హెచ్చుతగ్గులు రెండవ చరరాశి మీద ఎంత ప్రభావాన్ని చూపుతాయి. వాటి మధ్యగల సంబంధ గాఢతను సూచించే సంఖ్య పరిమాణాన్ని సహ సంబంధ గుణకం అంటారు.

సహసంబంధం లో రకాలు : ఇవి మూడు రకాలు

1. ఒక చరం రాశి విలువ పెరుగుతుంటే రెండవ చరం విలువ కూడా పెరిగితే ఆ చరాల మధ్య సంబంధాన్ని ధనాత్మక సహసంబంధం అంటారు.

2. ఒక చరం విలువ పెరుగుతూ ఉంటే రెండవ చరం విలువ తగ్గుతూ ఉన్నట్లయితే ఆ రెండు చరాల మధ్య ఉండే సంబంధాన్ని రుణాత్మక సహసంబంధం అంటారు.

3. ఒక చరం విలువ పెరిగినా, తగ్గినా రెండవ చరం విలువలో మార్పు లేకపోతే దానిని శూన్య సహసంబంధం అంటారు.

• రెండు చరరాశులు ఏ ప్రమాణంలో ఒకదానితో ఇంకొకటి సంబంధాన్ని కలిగి ఉంటాయో తెలియచేసే సంఖ్యాకాన్ని సహసంబంధ గుణకం అంటారు.
• రెండు చరరాశుల దత్తాంశాలు వర్గీకృతంగా ఉన్నపుడు అనగా అవిరళశ్రేణికి చెందినవయినపుడు పియర్సన్ ప్రోడక్ట్ మొమెంట్ పద్దతి ఉపయోగించి సహసంబంధం గుణకాన్ని కనుక్కోవాలి. దీన్ని అనే ఆంగ్ల అక్షరంతో సూచిస్తారు.

రెండు రాశుల దత్తాంశాలు అవర్గీకృతంగా ఉన్నపుడు పియర్మన్ కోటి క్రమ పద్దతి ఉపయోగించి కోటి క్రమ సహసంబంధ గుణకాన్ని గణించడానికి సూత్రం

7. రేఖాపటాలు

- దత్తాంశాల స్వరూపాన్ని దృశ్యరూపంలో వివరించడానికి రేఖా పటాలు ఉపయోగపడుతాయి.

1. సోపాన చిత్రం: పౌనఃపున్య విభాజనాన్ని రేఖాపటం ద్వారా చూపే విధానమే విధానమే సోపాన చిత్రం.

• దీనిని నిర్మించుటకు X-అక్షంపై తరగతి అంతరం దిగువ హద్దులు, y-అక్షంపై పౌనఃపున్యాలు గుర్తిస్తాయి.
• ఇందులో చిత్రాలు దీర్ఘచతురస్రాకారంగా వుంటాయి. స్తంభాకృతి రేఖల మధ్య ఖాళీ స్థలం ఉండరాదు.

2. పౌనఃపున్య బహుభుజి (Frequency Polygon) : తరగతి అంతరాల మధ్య బిందువులను X-అక్షం మీద, తరగతి అంతరాల పౌనఃపున్యాలను y-అక్షంకపై మీద బిందువులుగా గుర్తించి, ఆ బిందువులను సరళరేఖ రూపంలో కలుపగా వచ్చే రేఖా పటాన్ని పౌనఃపున్యాన్ని బహుభుజి అంటారు.

• విభిన్న సమూహాల నిష్పాదనలను దృశ్యరూపంలో ఒకే పటంలో చూపించాలంటే పౌనఃపున్య బహుభుజి ఎంతో ఉపయోగంగా ఉంటుంది.

3. పౌనఃపున్య వక్రరేఖ :

• సవరించు పౌనఃపున్యం - ప్రతి తరగతి అంతరం లోని పౌనఃపున్యానికి పైకి, కింది ఉన్న తరగతి అంతరంలోని పౌనఃపున్యాలను కలిపి 3 తో భాగించగా వచ్చేది.
• పౌనఃపున్య బహుభుజిలను హెచ్చుతగ్గులను క్రమపరుచుటకు సవరించిన పౌనఃపున్యాలను తీసుకొంటారు.
• పౌనఃపున్య వక్రరేఖను నిర్మించుటకు x-అక్షం మీద తరగతి అంతరాల మధ్య బిందువులు, y-అక్షం మీద క్రమము చేసి పౌనఃపున్యాలు గుర్తిస్తారు.

4. సంచిత పౌనఃపున్య రేఖాపటం:

• దీనిని నిర్మించుటకు -అక్షం పై తరగతి అంతరాల గరిష్ట పరిమితులు, y-అక్షంపై సంచిత పౌనఃపున్యాలను గుర్తిస్తారు.

5. సంచిత శాత వక్రం (ఒగైవ్) :

• దీనిని నిర్మించుటకు X-అక్షం పై తరగతి అంతరాల గరిష్ట పరిమితులు, y-అక్షంపై సంచితశాత పౌనఃపున్యాలు గుర్తిస్తారు.
• సంచిత శాత పౌనఃపున్యం = (సంచిత పౌనఃపున్యం / N) * 100
• ఒగైవ్ వక్రరేఖ ద్వారా రెండు సమూహాల నిష్పాదనను పోల్చవచ్చు.
• దీని సహాయంతో మాధ్యమికను, చతుర్థాంశకాన్ని, శతాంశకాలను గణించవచ్చు, పోల్చవచ్చు.

6. బార్ పటం (కమ్మీల పటం) : రెండు లేదా ఎక్కువ సమూహాలను ఏదో ఒక లక్షణంతో పోల్చి చూడడానికి బార్ పటం ఉపయోగిస్తారు.

• బార్ పటాల మధ్య ఖాళీస్థలం తప్పనిసరిగా ఉండాలి.

7. వలయ పటం : ఒకమొత్తంలోని అనుపాతాలను స్పష్టంగా పటంలో చూపించడానికి వలయ పటం ఉపయోగపడుతుంది.

దత్తాంశలోని గణనల అనుపాతాలను ఒక వృత్తంలో విభజించి చూపితే ఆ పటాన్ని వలయ పటం అంటారు (Pie Diagram).

వలయంలో అనుపాత డిగ్రీ కనుగొనుటకు సూత్రం : (360 / 100 ) * X %

సామాన్య విభాజనం:

• ఫ్రెంచి గణితశాస్త్రజ్ఞుడు అబ్రహాం డిమోవియర్, యాధృచ్ఛిక క్రీడలను పరిశీలించి అవి ఒక ప్రత్యేకమైన రీతిలో సంభవించడం గమనించి, ఆయా సంఘటనల సంభావ్యత వివరించే ఒక గణిత సూత్రం రూపొందించాడు.
• సామాన్య సంభావ్యత వక్రాన్ని ప్రతిపాదించినది - గాస్. అందువల్ల దీన్ని గాసియన్ వక్రం అని కూడా అంటారు.

సామాన్య విభజన వక్రరేఖ లక్షణాలు :

గంట ఆకారంలో వుంటుంది.

ఊర్ధ్వ రేఖకు కుడి ఎడమలు పరిపూర్ణ సౌష్టవం కలిగి వుంటుంది.

ఇందు అంకమధ్యమం = మాధ్యమికం = బాహుళకం.

పై మూడు కేంద్రీయ ప్రవృత్తి మానాలు వక్ర ఊర్ధ్వరేఖపైన వుంటాయి.

దత్తాంశంలోని ఎక్కువ శాతం గణనలు వక్రరేఖ మధ్య భాగంలో అంటే అంకమధ్యమానికి దగ్గరగా గుమిగూడి వుంటాయి.

వక్రం ఊర్ధ్వ రేఖకు ఇరువైపులా సమాన సంఖ్యలో గణనలుంటాయి. అమటే ద్విపార్శ్వ సౌష్టవముంటుంది.

వక్రం చివరలు ఆధారరేఖను స్పృశించవు.

Q3 - Mdn = Mdn = Q1, (తృతీయ చతుర్థాంశకం - మధ్యగతం - ప్రధమ చతుర్థాంశకం).

సామాన్య విభాజన వక్రరేఖ విస్తారం దాదాపు 6 ప్రామాణిక విచనాలకు సమానమవుతుంది.

గమనిక:

0.27% దత్తాంశంలో గణనలు అంకమధ్యమం + 3 ప్రామాణిక విచలనాల వరకు గల అవధులను దాటి వుంటాయి. (10,000 కి 27 గణనలు మాత్రమే)

సామాన్య విభజన వక్రరేఖలల్లో రెండు రకాల1న వైపరీత్యాలు కనిపిస్తాయి. అవి 1. వైషమ్యం 2. కకుదత.

1. వైషమ్యం : పౌనఃపున్య విభాజనం నుంచి పొందిన దత్తాంశాల రేఖాస్వరూపానికి సామాన్యవిభాజనవక్రానికి మధ్యగల విచలనాన్ని వైషమ్యం అంటారు.

• సామాన్య విభాజన వక్రంలో అంకమధ్యమం, మధ్యగతం ఒకదానితో ఒకటి కలిసి వుంటాయి. ఈరెండు వేరు అయినప్పుడు విభజనం వైష్యమ్యం పొందిందని అర్ధం.
• వైషమ్యాలు రెండు రకాలు : ధనాత్మకం, రుణాత్మకం.
• విభాజనం లోని దత్తాంశం వక్రం ఎడమవైపున కేంద్రీకృతమై, క్రమంగా కుడివైపుకు పోతూ వుంటే అటువంటి విభాజనం ధనాత్మక వైషమ్యం కలిగిఉంటుంది.
• ధనాత్మక వైషమ్యంలో దత్తాంశ మాధ్యమికకు కుడివైపున అంకమధ్యమం వుంటుంది.
• విభాజనంలో దత్తాంశాలు మాపని గరిష్ఠ పరిమితికి దగ్గరగా కేంద్రీకృతమై వుండి, రేఖాపటంలో కుడివైపున గుమికూడి ఎడమవైపుకు క్రమంగా తగ్గుతూ పోతే అటువంటి విభాజనాన్ని రుణాత్మక వైషమ్యం కలిగిఉందని చెప్పవచ్చు.
• రుణాత్మక వైషమ్యంలో దత్తాంశం మధ్యగతంనకు ఎడమవైపున అంకమధ్యమం ఉంటుంది.

2. కుదత: సామాన్య విభజనం రేఖా స్వరూపం గంట ఆకారంలో వుంటుంది. అయితే కొన్ని పౌనఃపున్య విభాజన వక్రాలు సామాన్య విభాజన వక్రం కంటే భిన్నంగా ఎత్తైన శిఖరంగా గాని, చదునైన శిఖరంగా గాని కనిపిస్తాయి.

ఇలాంటి విభాజన శిఖర స్వరూపాన్ని కకుదత అంటారు.

కకుదత మూడు రకాలు: 1. ఉత్తుంగ కకుదత 2. మధ్యమ కకుదత 3. సమతల కకుకదత.

ప్రతిచయనం గ్రహణం :

• జనాభాకు ప్రాతినిధ్య వహించే ప్రతిచయనాన్ని తీసుకుని, ఆ ప్రతిచయనం నుంచి సేకరించిన అభిప్రాయాలను విశ్లేషించి, మొత్తం జనాభాకు అన్వయించడాన్ని త్రిచయన అధ్యయనం అంటారు.
• ప్రతిచయన గ్రహణ విధానాన్ని విజ్ఞానశాస్త్రంలో ఒక మహత్తరమైన అంశంగా భావించినది - డబ్బు. జాన్జమ్.

ప్రతిచయన గ్రహణ విధానాలు- వర్గీకరణ :

• జనాభాలోని ప్రతి అంశం ప్రతిచయనంలో ప్రతిబింబించడానికి సమాన అవకాశం వుంటుంది అని యాధృచ్ఛిక ప్రతిచయనాన్ని ఎన్నుకనే పద్ధతిని యాధృచ్ఛిక ప్రతిచయనం అంటారని పార్టన్ నిర్వచించారు.
• జనాభా సజాతీయతను కలిగి ఉండక వివిధ వర్గాలుగా విభజితమై ఉన్నప్పుడు స్తరిత యాధృచ్ఛిక ప్రతిచయన పద్ధతిని ఉపయోగిస్తారు.
• ఎక్కువ ప్రజాభిప్రాయ సేకరణకు ఉపయోగించు పద్ధతి కోటా ప్రతిచయన పద్ధతి.

గమనిక : తరగతిలో విద్యార్థుల నిష్పాదనను - అంకమధ్యమం ద్వారా తరగతి సాధన సరాసరి కంటే ఎక్కువ వుందా లేక తక్కువ వుందా అనేది మధ్యగతం ద్వారా తరగతిలో ఎక్కువ మంది సాధించిన గణాంకాన్ని - బాహుళకం ద్వారా తెలుసుకోవచ్చు.

NPC (Normal Probability Curve) లో వైషమ్యం - 0

NPC లో కకుదత -0.263.

NPC ఊర్ధ్వరేఖకు ఇరువైపులా విస్తరించి ఉంటుంది.

NPC విస్తృతిని ప్రామాణిక విచలనాల్లో కొలుస్తారు.

NPC లోని S.D. లో Q.D. 2/3వ వంతు (లేదా) 0.66 ఉంటుంది.

NPC లోని S.D. లో M.D. 4/5వ వంతు (లేదా) 0.8 ఉంటుంది.

పదము - భాష - అర్ధం

Important Points

• ఆంధ్రగంధర్వ - జొన్నవిత్తుల శేషగిరిరావు.
• "మంచుజడిని, చీకటి రేయిని కోరుకుంటుంది మొగ్గ. ఉదయకిరణాల స్వేచ్ఛకోసం ఆరాటపడుతుంది వికసించిన పువ్వు."- ఠాకూర్.
• కింగ్ మేకర్ ఆఫ్ ఇండియా- కామరాజ్.
• "మనశత్రువు శత్రువు మనకు మిత్రుడు." - నేతాజి.
• A sound mind in a sound body - Aristotle.
• Strength is life Weakness is death - Swami Vivekananda.
• To be good and to do good that is the whole of religion Swami Vivekananda.
• Look sweet, speak fair - Shakespeare.
• A person without smile is not fully dressed - Gandhiji.
• Education is the manifestation of the perfection already in man - Vivekananda